近日，复旦大学物理学系、应用表面物理国家重点实验室、微纳电子器件与量子计算机研究院朱黄俊课题组，在高维量子位（qudit）克利福德（Clifford）群三阶矩特性与3-设计构造方面取得重要进展。研究成果以“Third Moments of Qudit Clifford Orbits and 3-Designs Based on Magic Orbits”为题，发表于数学物理权威期刊 [Commun. Math. Phys. 407, 242 (2026)]，全文共 146页。这是复旦大学物理系首次在该刊发表研究成果。论文作者为朱黄俊、毛成思、易昌浩，朱黄俊教授为通讯作者。 克利福德群是量子信息科学中最重要的有限群之一，在量子计算、量子纠错、随机基准测试、阴影估计、离散Wigner函数、互无偏基与对称信息完备测量等众多方向中扮演核心角色。对于量子比特体系，克利福德群构成幺正3-设计，这一性质深刻影响了许多量子信息处理协议的设计与性能分析。然而，当局域维度 d 为奇质数时，高维量子位克利福德群仅构成幺正2-设计，而非3-设计；其轨道结构、三阶矩特性以及相应设计理论远比量子比特情形复杂，长期缺乏系统理解，成为高维量子信息处理中的一个基础瓶颈。本项研究正是针对这一基础难题展开。 课题组此前在 [Phys. Rev. Lett. 134, 160801 (2025)] 提出了基于克利福德群和魔法门的高维量子位阴影估计方案。本项研究为该项PRL工作提供了理论基础，同时将其从阴影估计协议层面系统深化到一般克利福德轨道三阶矩与3-设计构造。具体而言，PRL工作表明高维量子位阴影估计效率接近量子比特情形，仅需O(d) 额外开销，不依赖量子位数目，且单魔法门可进一步消除O(d)开销。本项研究进一步揭示该现象背后的三阶矩结构根源，并给出近似与精确3-设计的极简构造。 研究团队首先将阴影范数从可观测量推广到量子态系综，用以衡量系综在最坏情形阴影估计中的性能，并建立三阶归一化框架势与阴影范数之间的下界关系。研究表明，对任意克利福德轨道（包括稳定子态轨道），三阶归一化框架势与阴影范数均为 O(d)，且不随量子位数目 n 增长。尽管当 d ≠ 2 mod 3 时，三阶归一化矩算符的算子范数可能随 n 指数增长，但基于高维稳定子测量的阴影估计协议相对量子比特情形的额外开销仍仅为 O(d)，与系统规模无关。这一结果厘清了高维量子位与量子比特克利福德群的内在异同：二者三阶统计性质存在本质区别，但高维稳定子测量在阴影估计中的额外开销远低于此前预期。 图1.高维量子位魔法轨道三阶归一化框架势、三阶归一化矩算符范数和阴影范数与理想3-设计对应值的偏离随魔法门数量增加指数下降；少量魔法门即可使轨道接近3-设计。 进一步，研究团队深入分析了基于魔法门和魔法态的魔法轨道。结果表明，任意魔法轨道的阴影范数上界为常数 15/2；三阶归一化框架势、三阶归一化矩算符范数、阴影范数三者相对于理想3-设计的偏离，均随魔法门数量增加而指数衰减。因此，仅需少量魔法门即可获得性能优良的近似3-设计。团队进一步证明，仅组合两个克利福德轨道就能得到高精度近似3-设计；对于无限多种局域维度，利用两个或四个克利福德轨道还可构造精确3-设计。相关构造与三次高斯和的相位分布及数论中的Kummer问题深刻关联，展现出量子信息、组合设计与数论交叉的丰富内涵。 在量子信息处理中，3-设计是一类能够模拟完全随机量子操作前三阶统计性质的有限操作集合，是量子态估计、纠缠检测、量子计量、哈密顿量学习与低秩矩阵恢复等任务的重要数学工具。高维3-设计通常构造复杂，实验实现与校准成本高。本项研究给出的极简构造方案显著降低了高维量子系统实现3-设计的难度，为高维量子系统的高效刻画与验证提供了结构简单、易于实验实现的3-设计方案，也为量子信息、组合设计与数论的交叉研究提供了新范例。 上述工作得到上海市科技创新行动计划、国家自然科学基金、国家重点研发计划与上海市市级科技重大专项等支持。