近日，物理系和微纳电子器件与量子计算机研究院朱黄俊课题组澄清了基于克利福德群（Clifford group）的高维量子位（qudit）阴影估计（shadow estimation）协议的样本复杂性，并通过添加单魔法门取得与量子比特（qubit）情形相同效率，从而突破高维量子系统刻画难题。研究成果以“Qudit Shadow Estimation Based on the Clifford Group and the Power of a Single Magic Gate”为题在物理学权威期刊Physical Review Letters发表[Phys. Rev. Lett. 134, 160801 (2025); DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevLett.134.160801]。同时，该成果作为报告入选量子信息顶级会议28th Quantum Information Processing Conference (QIP2025)；这是上海市本土研究成果首次入选该会议系列报告。物理系博士生毛成思和博士后易昌浩分别为论文的第一和第二作者，朱黄俊研究员为通讯作者。

高效刻画与验证大中型量子体系是成功实现量子信息处理任务的基础，也是发展量子科技的核心环节。然而，传统量子层析（quantum tomography）方法由于成本高昂，难以应用于大中型量子体系。近年来，一种称为阴影估计（shadow estimation）的高效替代方法受到广泛关注。通过施加给定幺正系综的随机幺正变换并做标准投影测量，该方法可用于估测很多物理量的期望值。当所选幺正系综构成幺正3-设计（unitary 3-design,量子信息处理中的核心工具）,阴影估计方法对于很多任务可以取得最高效率。特别是保真度估计所需测量数目不依赖体系大小，取得最佳标度行为。

克利福德群（Clifford group）是量子信息科学所涉及的最重要的一个群，在量子计算、量子纠错和阴影估计等诸多量子信息处理任务中都扮演重要角色。对于量子比特体系，朱黄俊研究员几年前（入职复旦之前）证明克利福德群构成幺正3-设计[PRA 96, 062336 (2017);顶会QIP2016报告]。这一结论已经成为理解克利福德群结构特性的基础，对很多量子信息处理任务都有重要影响。特别是该结论意味着基于克利福德群的阴影估计协议可以在保真度估计等重要任务中取得最高效。

值得注意的是，实际物理系统往往表现出高维结构，这类结构对于量子纠错、量子魔法态蒸馏和贝尔测试等任务都有重要影响。深入理解高维量子位阴影估计的效率具有重要理论和实践指导价值，但相关研究非常有限。高维量子位克利福德群并不构成幺正3-设计，导致理论分析陷入困境，因而理解其在阴影估计中的表现极具挑战。构造适合高维量子位体系的高效阴影估计方案也一直是一个悬而未决的难题。

为解决上述难题，朱黄俊课题组开展了系统深入研究。经过两年多坚持不懈的努力，研究团队最终证明了，当局域维度d为奇质数时，高维量子位阴影估计效率接近量子比特情形，所需额外开销只有O(d), 不依赖量子位数目n。此外，研究团队提出了一种进一步提升效率的简洁方案，如图1所示，该方案只需在克利福德线路基础上增加一层量子魔法门，特别适用于当前含噪声中等规模量子（NISQ）阶段。令人惊讶的是，仅需单个魔法门即可消除高维量子位阴影估计中的O(d)开销，取得最佳标度行为。图2所呈现的数值模拟结果印证了这一结论。

图1. 添加单层量子魔法门的克里福德线路，可实现高效阴影估计

图2. 基于克利福德福线路和魔法门的保真度估计误差（数值模拟结果）

这项研究解决了高维量子位阴影估计的一个核心难题，并为高维量子位体系的高效刻画与验证提供了实用解决方案。研究也表明了高维量子位体系的刻画与验证比之前预期更简单，这一结论对基于高维量子体系的量子信息处理可能会产生深远影响。同时，本研究凸显了单个量子魔法门在实际量子信息处理任务中的强大潜力，这一发现可能会推动量子资源理论等相关领域的进一步发展。

此前朱黄俊研究员与Masahito Hayashi教授关于量子态验证的合作研究[PRL 123, 260504 (2019)]入选量子信息顶会QIP2020报告。本项研究，由复旦团队独立完成，再次入选会议报告（QIP2025），充分反映了复旦量子信息基础理论研究得到了国际同行的高度认可。

上述工作得到了国家自然科学基金、上海市科委、复旦大学物理学系、应用表面物理国家重点实验室、和微纳电子器件与量子计算机研究院的大力支持。

论文链接：https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.134.160801