近日，复旦大学物理学系、应用表面物理国家重点实验室和微纳电子器件与量子计算机研究院朱黄俊课题组，系统回答了经典阴影估计中实现最优性能所需的最少测量设置数这一基础问题。研究成果以“Optimal Shadow Estimation with Minimal Measurement Settings”为题，于2026年9月10日被 Physical Review Letters 接收。物理系博士生杨郅垚和陈大同分别为论文第一、第二作者，朱黄俊教授为通讯作者。

高效刻画量子系统是量子计算、量子模拟与量子精密测量的重要基础。传统量子态层析需要重构完整量子态，资源消耗随系统规模指数增长。经典阴影估计通过随机测量和经典后处理，直接预测物理量期望值、态保真度及纠缠性质等目标信息，避免重构完整量子态，因而成为近年来量子信息领域的重要工具。阴影范数的平方可理解为最坏情况下估计方差的上界：它越小，达到同样精度所需样本越少。

在实际实验中，样本数并不是唯一成本。每种测量设置通常对应一个测量基，需要线路生成、预编译、验证与校准，其误差还会累积为系统偏差。因此，关键问题是：在保持给定统计性能的前提下，最少需要多少种测量设置？已有基于酉3-设计的协议能对任意未知态和可观测量达到最坏情形最优效率，但通常需要规模庞大、结构复杂的测量集合；此前一直缺少与最优性能匹配的严格测量设置数下界。

研究团队区分了两类任务。用 d 表示量子系统的希尔伯特空间维度：最坏情形要求协议对所有允许的状态和可观测量都保持高效，给出统一保证；平均情形则关注随机或典型目标下的整体表现，更接近许多实际实验任务的成本。

研究团队证明，在最坏情形下，达到最优标度所需测量基数量约为 d²。研究团队运用相位3-设计和互无偏基，构造出达到最优标度的显式测量系综（图1）。与之形成鲜明对比的是，平均情形只需约 d 个测量基：任意态2-设计都能达到平均最优，且这类设计可由约 d 个测量基构造。对归一化可观测量沿其酉轨道取平均时，平均平方阴影范数不超过一个与维度无关的常数（约3.83）。对 Haar 随机纯态保真度估计，研究进一步证明，平方阴影范数以极高概率集中在一个与维度无关的常数附近，因此典型保真度估计所需样本数不随维度增长。以10量子比特系统为例，最坏情形约需 10⁶ 个测量基，而典型或平均情形约需 10³ 个。图2显示，SIC（对称信息完备测量）与完备的互无偏基集合等态2-设计的平均表现已非常接近3-设计基准。

图1：面向最坏情形最优阴影估计的显式测量系综构造。将少量互无偏基与相位3-设计结合，可用 d² 量级测量基达到最坏情形下的最优效率。

图2：Haar随机纯态保真度估计对应的平均平方阴影范数。SIC 与完备互无偏基等态 2-设计的平均性能逼近 3-设计基准，且存在普适常数上界。

上述研究揭示了阴影估计中最坏情形与典型情形之间 d² 对 d 的根本性复杂度分离，也表明许多实际任务并不需要为最坏情形设计的高成本测量方案；简单的态2-设计即可在典型情形下达到最优平均性能。更少的测量设置意味着更少的测量线路，以及更少的预编译、验证与校准对象；若均匀随机选择测量基，还可降低设置选择所需的经典随机性。完备的互无偏基集合、循环测量以及深度仅为对数级的浅层线路等易于实现的态2-设计，已经能在典型场景中达到最优平均性能。

这项成果把抽象设计理论与实验校准成本直接联系起来：若任务要求对所有目标给出统一保证，就需承担约 d² 量级的测量设置；若关注典型态或平均性能，约 d 量级的简单测量即可满足要求。相关方法还有望推广到多体系统与局域哈密顿量等结构化目标，并与由系统自身动力学生成的阴影测量协议结合。

上述工作得到上海市科技创新行动计划、国家自然科学基金、科技创新2030—“量子通信与量子计算机”重大项目、国家重点研发计划和上海市市级科技重大专项的支持。

论文链接：https://doi.org/10.1103/g4lh-56r1
预印本链接：https://arxiv.org/abs/2606.20003